BAB II. Distribusi Poisson
2.1 Sejarah Distribusi Poisson
Dalam teori
probabilitas dan statistika, distribusi poisson adalah
distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang
terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut
diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir.
(distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval
tertentu seperti jarak, luas, atau volume).
Distribusi ini
pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan
diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches
sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian
Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang
menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut
"kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.
Apabila nilai harapan
kejadian pada suatu interval adalah λ , maka
probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah
bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan
dimana
§ k adalah
jumlah kejadian suatu peristiwa — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
§ λ
adalah bilangan riil positif,
sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu.
Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari
probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan
distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.
Sebagai
fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas.
The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi
binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem
dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya
cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.
2.2 Ciri-Ciri Kasus Yang Dikerjakan Dengan
Poisson
Ada beberapa
ciri untuk menentukan apakah data tersebut temasuk dalam kriteria Distribusi
Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri tersebut adalah:
a.
banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu
interval waktu atau suatu daerah
tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi
pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
b.
Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu
interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding
dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak
bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar interval waktu
atau daerah tersebut.
c.
Probabilitas lebih dari satu hasil yang terjadi dalam
interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
2.3 Manfaat Distribusi Poisson
1)
menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut
satuan waktu ,ruang atau isi,luas,panjang tertentu,seperti menghitung
probabilitas dari kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek
ditolak oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah
sakit,restauran cepat saji atau antrian yang panjang bila ke tempat wisata.
Semua contoh ini merupakan hal yang menggambarkan tentang distribusi poisson.
2)
Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).
Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T,maka
proses penghitungan ini diilakukan sebagai berikut.
a.
Jumlah rata-rata benda didaerah S T adalah sebanding
terhadap ukuran S,yaitu ECount(S)= λ S, di sini melambangkan ukuran S,yaitu
panjang,luas,volume,dan lain-lain. Parameter λ > 0 menggambarkan intensitas
proses.
b.
Mengitung di daerah terpisah adalah bebas
c.
Kesimpulan untuk mengamati lebih dati satu benda di
dalma suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil
ketika ukuran menjadi kecil.
2.4 Contoh Kasus Distribusi Poisson
Contoh:
Rata-rata seorang
sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang
bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?
c. lebih dari 3 kesalahan?
d. paling tidak ada 3 kesalahan?
Diketahui: = 5
Ditanya:
a. Peluang
halaman tidak ada kesalahan
b. Peluang
halaman tidak lebih dari 3 kesalahan
c. Peluang
halaman lebih dari 3 kesalahan
d. Peluang
halaman paling tidak ada 3 kesalahan
Jawab:
a. Peluang
halaman tidak ada kesalahan (x = 0, = 5.0)
P(0 ; 5.0) = 0.0067
b. Peluang
halaman tidak lebih dari 3 kesalahan (x 3, = 5.0)
P(x 3 ; 5.0) =
P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2 ; 5.0) + P(3 ; 5.0)
P(x 3 ; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404
P(x 3 ; 5.0) =
0.2650
c. Peluang
halaman lebih dari 3 kesalahan (x > 3, = 5.0)
P(x 3 ; 5.0) =
P(4 ; 5.0) + P(5 ; 5.0) + P(6 ; 5.0) + P(7 ; 5.0) + ...... + P(15 ; 5.0)
atau
P(x > 3 ; 5.0) = 1
- P(x 3 ; 5.0)
P(x > 3 ; 5.0) = 1 - [ P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2; 5.0) + P(3 ; 5.0) ]
P(x > 3 ; 5.0) = 1 - [ 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 ]
P(x > 3 ; 5.0) = 1 - 0.2650
P(x > 3 ; 5.0) = 0.7350
d. Peluang
halaman paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3, = 5.0)
P(x ³ 3 ;
5.0) = P(3 ; 5.0) + P(4 ; 5.0) + P(5 ; 5.0) + P(6 ; 5.0) + ...... + P(15 ; 5.0)
atau
P(x ³ 3 ;
5.0) = 1 - P(x < 3 ; 5.0)
P(x ³ 3 ;
5.0) = 1 - [ P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2 ; 5.0) ]
P(x ³ 3 ;
5.0) = 1 - [ 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 ]
P(x ³ 3
; 5.0) = 1 - 0.1246
P(x ³ 3
; 5.0) = 0.8754
