Distribusi Poisson

BAB II.           Distribusi Poisson

2.1       Sejarah Distribusi Poisson

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah    λ   , maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

dimana

§  e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)

§  k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini

§  k! adalah faktorial dari k

§  λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

2.2       Ciri-Ciri Kasus Yang Dikerjakan Dengan Poisson

Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut temasuk dalam kriteria Distribusi Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri tersebut adalah:

a.                   banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah   tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

b.                  Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar interval waktu atau daerah tersebut.

c.                   Probabilitas lebih dari satu hasil yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

2.3       Manfaat Distribusi Poisson

1)      menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu ,ruang atau isi,luas,panjang tertentu,seperti menghitung probabilitas dari kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit,restauran cepat saji atau antrian yang panjang bila ke tempat wisata. Semua contoh ini merupakan hal yang menggambarkan tentang distribusi poisson.

2)      Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T,maka proses penghitungan ini diilakukan sebagai berikut.

a.       Jumlah rata-rata benda didaerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S,yaitu ECount(S)= λ S, di sini melambangkan ukuran S,yaitu panjang,luas,volume,dan lain-lain. Parameter λ > 0 menggambarkan intensitas proses.

b.      Mengitung di daerah terpisah adalah bebas

c.       Kesimpulan untuk mengamati lebih dati satu benda di dalma suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

2.4       Contoh Kasus Distribusi Poisson

Contoh:

Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman.  Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:

 a. tidak ada kesalahan?

 b. tidak lebih  dari 3 kesalahan?

 c. lebih dari 3 kesalahan?

 d. paling tidak ada 3 kesalahan?

Diketahui: = 5

Ditanya:

a.       Peluang halaman tidak ada kesalahan

b.      Peluang halaman tidak lebih dari 3 kesalahan

c.       Peluang halaman lebih dari 3 kesalahan

d.      Peluang halaman paling tidak ada 3 kesalahan

Jawab:

a.       Peluang halaman tidak ada kesalahan (x = 0, = 5.0)

P(0 ; 5.0) = 0.0067

b.      Peluang halaman tidak lebih dari 3 kesalahan (x 3, = 5.0)

P(x 3 ; 5.0) = P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2 ; 5.0) + P(3 ; 5.0)

P(x 3 ; 5.0) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

P(x 3 ; 5.0) = 0.2650

c.       Peluang halaman lebih dari 3 kesalahan (x > 3, = 5.0)

P(x 3 ; 5.0) = P(4 ; 5.0) + P(5 ; 5.0) + P(6 ; 5.0) + P(7 ; 5.0) + ...... + P(15 ; 5.0)

                              atau

P(x > 3 ; 5.0) = 1 - P(x 3 ; 5.0)

      P(x > 3 ; 5.0) = 1 - [ P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2; 5.0) + P(3 ; 5.0) ]

      P(x > 3 ; 5.0) = 1 - [ 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 ]

      P(x > 3 ; 5.0) = 1 - 0.2650

      P(x > 3 ; 5.0) =  0.7350

d.      Peluang halaman paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3, = 5.0)

P(x ³ 3 ; 5.0) = P(3 ; 5.0) + P(4 ; 5.0) + P(5 ; 5.0) + P(6 ; 5.0) + ...... + P(15 ; 5.0)

                              atau

P(x ³ 3 ; 5.0) = 1 - P(x < 3 ; 5.0)

P(x ³ 3 ; 5.0) = 1 - [ P(0 ; 5.0) + P(1 ; 5.0) + P(2 ; 5.0) ]

P(x ³ 3 ; 5.0) = 1 - [ 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 ]

                P(x ³ 3 ; 5.0) = 1 - 0.1246

                P(x ³ 3 ; 5.0) = 0.8754